[Наталия Дмитриева]

возраст 2 мес и неделя (возраст дб верным, тк малыш с документами). Зубов у него нет, только наметились.

Странно. А Вы уверены, что щенок от этих родителей? Может подлог?
Тем более, что Вы пишите

Ребёнок очень грязный, так не видно, но когда его гладишь, на руках потом чувствуешь как будто неделю руки не мыс.

Это какой порядочный заводчик допустит, чтобы щенок был в таком состоянии?
Вы хоть заводчиком поинтересовались, у которого щенка брать собрались?

Можно ли его помыть сразу или обязательно ждать несколько дней, чтобы адаптировался? И чем мыть?

Помыть можно конечно, но через пару-тройку дней, когда адаптируется. Шампунь я бы взяла щенячий какой-нибудь. И феном ребёнка обсушите ( тёплым, не горячим!)

Глистогонили его уже

Что-то я сомневаюсь. Если заводчица не следит за чистотой , разве она будет следить за глистами?

Как правильнее сделать, заменить сразу одно кормление другим кормом (но вероятно, это слишком резко будет?), или подмешивать в старый корм новый (но это опять не правильно, смешивать же разные корма не желательно?). Как лучше поступить?

В старый корм постепенно подмешивайте новый с каждым днём сокращая дозу старого.

Перевести полностью на другое питание можно за неделю?

Всё зависит от аппетита ребёнка. Если кушает хорошо и не привередлив, то за неделю можно. Опять таки, обращайте внимание на кал. Если не поносит во время перехода с одного корма на другой - всё замечательно.
В принципе, понос разными причинами вызывается. В том числе и глистами.