Официально в Москве можно провозить собаку по МЦК (так же как и велосипед). Причем бесплатно. Опробовано на себе. Подошла к кассе, спросила (в правилах написано, что за плату):
http://mosmetro.ru/mcc/rules/
От МЦК можно на наземном транспорте добраться:
http://www.mosgortrans.ru/passenger/rules/